算法详解
Union-Find 算法,也就是常说的并查集算法,主要是解决图论中「动态连通性」问题的。
简单说,动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。
这里所说的「连通」是一种等价关系,也就是说具有如下三个性质:
1、自反性:节点p
和p
是连通的。
2、对称性:如果节点p
和q
连通,那么q
和p
也连通。
3、传递性:如果节点p
和q
连通,q
和r
连通,那么p
和r
也连通。
Union-Find 算法的关键就在于union
和connected
函数的效率
思路:使用森林(若干棵树)来表示图的动态连通性,用数组来具体实现这个森林。
怎么用森林来表示连通性呢?我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点,如果是根节点的话,这个指针指向自己。
class UF {
// 连通分量个数
private int count;
// 存储多棵树,节点 x 的父节点是 parent[x]
private int[] parent;
// 记录树的“重量”,表示size[x] 树有几个节点
private int[] size;
public UF(int n) {
// 一开始互不连通
this.count = n;
parent = new int[n];
size = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 父节点指针初始指向自己
parent[i] = i;
// 一开始每棵树只有一个节点
size[i] = 1;
}
}
/* 将 p 和 q 连接 */
public void union(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
if (rootP == rootQ)
return;
// 小树接到大树下面,较平衡
if (size[rootP] > size[rootQ]) {
parent[rootQ] = rootP;
size[rootP] += size[rootQ];
} else {
parent[rootP] = rootQ;
size[rootQ] += size[rootP];
}
count--;
}
/* 判断 p 和 q 是否连通 */
public boolean connected(int p, int q) {
int rootP = find(p);
int rootQ = find(q);
return rootP == rootQ;
}
/* 返回当前的连通分量个数 */
public int count() {
return count;
}
/*路径压缩,使find能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点,相应的,connected和union复杂度都下降为 O(1)。*/
private int find(int x) {
while (parent[x] != x) {
// 进行路径压缩
parent[x] = parent[parent[x]];
x = parent[x];
}
return x;
}
}
算法的关键点有 3 个:
1、用parent
数组记录每个节点的父节点,相当于指向父节点的指针,所以parent
数组内实际存储着一个森林(若干棵多叉树)。
2、用size
数组记录着每棵树的重量,目的是让union
后树依然拥有平衡性,而不会退化成链表,影响操作效率。
3、在find
函数中进行路径压缩,保证任意树的高度保持在常数,使得union
和connected
API 时间复杂度为 O(1)。
算法应用
首先,Union-Find 算法解决的是图的动态连通性问题,这个算法本身不难,能不能应用出来主要是看你抽象问题的能力,是否能够把原始问题抽象成一个有关图论的问题。
DFS 的替代方案
leetcode 130 给你一个 M×N 的二维矩阵,其中包含字符X
和O
,让你找到矩阵中完全被X
围住的O
,并且把它们替换成X
。
解决这个问题的传统方法也不困难,先用 for 循环遍历棋盘的四边,用 DFS 算法把那些与边界相连的O
换成一个特殊字符,比如#
;然后再遍历整个棋盘,把剩下的O
换成X
,把#
恢复成O
。这样就能完成题目的要求,时间复杂度 O(MN)。
使用 Union-Find 算法:
你可以把那些不需要被替换的O
看成一个拥有独门绝技的门派,它们有一个共同祖师爷叫dummy
,这些O
和dummy
互相连通,而那些需要被替换的O
与dummy
不连通。
void solve(char[][] board) {
if (board.length == 0) return;
int m = board.length;
int n = board[0].length;
// 给 dummy 留一个额外位置
UF uf = new UF(m * n + 1);
int dummy = m * n;
// 将首列和末列的 O 与 dummy 连通
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (board[i][0] == 'O')
uf.union(i * n, dummy);
if (board[i][n - 1] == 'O')
uf.union(i * n + n - 1, dummy);
}
// 将首行和末行的 O 与 dummy 连通
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (board[0][j] == 'O')
uf.union(j, dummy);
if (board[m - 1][j] == 'O')
uf.union(n * (m - 1) + j, dummy);
}
// 方向数组 d 是上下左右搜索的常用手法
int[][] d = new int[][]{ {1,0}, {0,1}, {0,-1}, {-1,0} };
for (int i = 1; i < m - 1; i++)
for (int j = 1; j < n - 1; j++)
if (board[i][j] == 'O')
// 将此 O 与上下左右的 O 连通
for (int k = 0; k < 4; k++) {
int x = i + d[k][0];
int y = j + d[k][1];
if (board[x][y] == 'O')
uf.union(x * n + y, i * n + j);
}
// 所有不和 dummy 连通的 O,都要被替换
for (int i = 1; i < m - 1; i++)
for (int j = 1; j < n - 1; j++)
if (!uf.connected(dummy, i * n + j))
board[i][j] = 'X';
}
主要思路是适时增加虚拟节点,想办法让元素「分门别类」,建立动态连通关系。
判定合法算式
给你一个数组equations
,装着若干字符串表示的算式。每个算式equations[i]
长度都是 4,而且只有这两种情况:a==b
或者a!=b
,其中a,b
可以是任意小写字母。你写一个算法,如果equations
中所有算式都不会互相冲突,返回 true,否则返回 false。
分析:
动态连通性其实就是一种等价关系,具有「自反性」「传递性」和「对称性」,其实==
关系也是一种等价关系,具有这些性质。所以这个问题用 Union-Find 算法就很自然。
核心思想是,将equations
中的算式根据==
和!=
分成两部分,先处理==
算式,使得他们通过相等关系各自勾结成门派;然后处理!=
算式,检查不等关系是否破坏了相等关系的连通性。
boolean equationsPossible(String[] equations) {
// 26 个英文字母
UF uf = new UF(26);
// 先让相等的字母形成连通分量
for (String eq : equations) {
if (eq.charAt(1) == '=') {
char x = eq.charAt(0);
char y = eq.charAt(3);
uf.union(x - 'a', y - 'a');
}
}
// 检查不等关系是否打破相等关系的连通性
for (String eq : equations) {
if (eq.charAt(1) == '!') {
char x = eq.charAt(0);
char y = eq.charAt(3);
// 如果相等关系成立,就是逻辑冲突
if (uf.connected(x - 'a', y - 'a'))
return false;
}
}
return true;
}
总结
使用 Union-Find 算法,主要是如何把原问题转化成图的动态连通性问题。对于算式合法性问题,可以直接利用等价关系,对于棋盘包围问题,则是利用一个虚拟节点,营造出动态连通特性。
另外,将二维数组映射到一维数组,利用方向数组d
来简化代码量,都是在写算法时常用的一些小技巧,如果没见过可以注意一下